Calcul d'un terme avec une formule explicite

Soit  $(u_n)$ la suite numérique définie pour tout  $n\in \mathbb{N}$ par  $u_n=(n-4)/(2n+1)$ . Cette suite est définie à l'aide d'une formule explicite : on a directement  $u_n$ en fonction de  $n$ .

Nous allons donc programmer une fonction terme_u qui prendra en argument un entier n et qui renverra le n-ième terme de cette suite. Exécuter le programme suivant.

def terme_u(n):
    return (n-4)/(2*n+1)

Dans ce fragment de programme,

• le mot clé def permet d'indiquer que l'on est en train de définir une fonction ;
  
• cette fonction a pour nom terme_u et un seul argument que l'on appelle n. Le nom de la suite est suivie de deux points ;
  
• la suite de la fonction est décalée d'un cran vers la droite : c'est ce que l'on appelle l'indentation. Celle-ci est indispensable au bon fonctionnement du programme ;
  
• le mot-clé return indique que la fonction renverra la valeur qui suit ce mot. Cette valeur pourra alors être stockée dans une variable ou affichée dans la console.

Pour calculer  $u_{2}0$ , on appelle la fonction terme_u avec l'argument 20.
terme_u(20)

Exercice

1. Écrire une fonction terme_v prenant un entier n en paramètre et renvoyant le n-ième terme de la suite définie pour tout  $n\in \mathbb{N}$ par  $v_n={\displaystyle \frac{3+(-1{)}^n}{n+1}}$ .
En Python : la puissance s'écrit **. Par exemple  $(-1{)}^n$ s'écrit (-1)**n.

2. Utiliser cette fonction pour calculer le  $v_{10}$ .

3. En utilisant cette fonction, conjecturer la limite de  $v_n$ lorsque  $n$ tend vers  $+\mathrm{\infty }$ .